Vous aimez les Mathématiques et l'art de la Programmation?

[OverwhelminG]

il y a 24 minutes, Anthraks a dit :

Au passage, je découvre ce topic et je le trouve génial : ) ! Bravo à l'initiateur Overwhelming et aux autres qui alimentent la discussion ! J'espère pouvoir participer moi aussi à l'occasion.

On te souhaite la bienvenue  ! :)

il y a 15 minutes, Stolt a dit :

sympa les derniers posts, je vais predre cher dans quelques semaines moi  avec les espaces vectoriels....

j'ai passé par là ^^ les espaces vectoriels, les dimensions, les loi interne et ainsi de suite et notament les sous espaces vectoriels ^^ si ma mémoire est bonne, pour démontrer que E par exemple est un espace vectoriels, il faut passé par montrer que le groupe (E,+) associé à la loi(+), qui ne veut pas forcément dire l'addition mais qu'on peut définir par plusieurs relations comme par exemple (x+y)=2x+2y (où le dernier + veut dire l'addition) mais en général quand on définie une loi différente de celle de l'addition ou encore de la multiplication ou la soustraction, on note cette nouvelle loi (*) ainsi il faudra démontrer que (E,*) est un groupe et ainsi de suite et si ma mémoire est encore bonne peut être, il faudra aussi démontrer que la loi (*) est une loi de composition interne ... l'associativité, la transitivité, la symétrie, l'anti-symétrie, l'existence d'élément neutre, classe d'équivalence...etc ! Ah toutes notations de l'algèbre ça me rappelle bien des choses ^^ Enfin je te souhaite une bonne révision pour tes examens et si tu as des questions ou que tu ne comprend pas certaines définitions ou encore si tu ne saurais pas résoudre un exercice, je t'invite à le partager ici, on pourrait peut être t'aider :)

[Stolt]

ça va les lois de compo et tout les trucs genre anneau groupe c'est fait

[Barzuln]

@Stolt , si tu en est à bientôt à découvrir les Espaces vectorielles, tu as du achever la grosse partie de cours de 1ere année sur les suites et donc assimiler le théorème de Bolzano-Weierstrass qui dit que de toute suite bornée à valeurs dans R, on peut extraire une sous-suite convergente. Si l'énoncé est assez limpide, la démonstration m'avait traumatisé, deux fois, je l'ai eu khôlle et deux fois, je me suis lamentablement vautré. Je te souhaite de t'en être mieux sorti que moi.

 

ps : la définition d'une sous-suite me semble importante pour comprendre. Si (U)n avec n appartenant à N est une suite à valeurs dans R, on définit (U)phi(n) comme étant une sous-suite ( on parle aussi de suite extraite ) de (U)n où phi est une extractrice, c'est à dire une application de N dans N strictement croissante.

Modifié (le) Janvier 13, 2016 par Barzuln

[Saisirunnom]

Il y a 14 heures, OverwhelminG a dit :

Dijstra ! j'ai fait ça aussi lors de mes études supérieur, j'ai utiliser son algorithme de recherche du plus court chemin ! Ah j'aimais bien appliquer son algorithme sur les graphes, d'où le module "Théorie des Graphes" !

Étant donné que ce topic parle des maths et de la programmation aussi, je suppose que tu as développé pas mal de programmes ! as-tu développé alors une application peut être pour justement l'un des algorithmes de Dijkstra ?

Pendant mon DUT le module de math que j'avais choisi avec Dijstra justement ma egalement servit en cours de Java mais ca remonte à plus de 3/4 ans c'était une sorte de jeu ou justement on générait une sorte de labyrinthe aléatoirement et Dijstra nous permettait d'avoir la solution de calculé en mémoire :) !

[Barzuln]

Il y a 9 heures, Anthraks a dit :

T'aurais pas oublié de préciser que la "dimension quelconque" doit quand même être finie ? ^^ Ou alors j'apprends quelque chose !

Edit: Oups mal lu, tu avais bien précisé qu'en dimension quelconque on a juste l'injectivité (faut dire que ton erreur d'étourderie m'a pas aidé !)

Au passage, je découvre ce topic et je le trouve génial : ) ! Bravo à l'initiateur Overwhelming et aux autres qui alimentent la discussion ! J'espère pouvoir participer moi aussi à l'occasion.

Je m'arrache les yeux à chercher cette fameuse étourderie, je ne vois pas. Dans tout les cas (dimension finie ou non) Ker(f) = 0 équivalent à f injective et par le théorème du rang qui ne s'applique qu'en dimension finie, on a Ker(f) = 0 équivalent à f bijective.

[Stolt]

La demo est faite mais hors programme, noraj 

[Anthraks]

Le 11/1/2016 at 9:52 AM, Barzuln a dit :

En dimension quelconque, si le noyau d'une application linéaire est réduit au vecteur nul alors cette application est bijective, et pire encore par le théorème du rang en dimension finie, elle est bijective.

La voilà ; )

[Anthraks]

Bon, vu que j'ai été accueilli sur le topic,  c'est à mon tour de proposer un petite curiosité mathématique. Et vu que j'aime aussi la physique, ce sera un bon petit paradoxe à la Zénon (l'histoire de la flèche qui n'atteint jamais sa cible pour ceux qui connaissent) ou quand les maths et la réalité physique discordent. En plus, je vais juste parler de séries (simples) donc c'est plus accessible pour ceux qui ne passent pas leur journée à diagonaliser des matrices de Vandermonde... 

Bon alors je me lance, je vais très rapidement (et sans trop de rigueur) introduire les séries ( pardon si ça a été fait plus tôt dans le topic). Partons des sommes et de la notation sigma.

Le symbole sigma permet de condenser l'écriture d'une somme :  l'indice n parcours les entiers de 1 à N en étant incrémenté de 1 à chaque fois qu'on rentre dans le sigma. Partant de là, on peut généraliser la somme précédente finie à une somme infinie en faisant tendre N vers l'infini.      

On obtient  la série de terme général 1/n.                                                                                                                                              

Le premier enjeu dans l'étude de séries est de déterminer la convergence ou divergence de ces dernières. Pour cela on observe la limite de la somme infinie, si elle existe et est finie alors on dit que la série converge et on égale la série à sa limite. Par exemple la série de terme général 0 converge et sa limite vaut 0. A l'inverse si une série n'admet pas de limite ou une limite infinie, on dit qu'elle diverge et dans ce cas elle n'as pas d'existence propre. Par exemple la série de terme général 1 diverge car elle admet pour limite l'infini. Voilà c'est fini pour le cours relou, on peut passer au paradoxe : )

Il se trouve que la série de terme général 1/n diverge vers l'infini (donc l'égalité que j'ai écrite au dessus n'a aucun sens mais bon). Cependant la série des 1/n² est convergente (on peut même trouver la valeur de sa limite assez facilement, je pense que les gens sur ce topic qui voudraient voir la demo sont capables de le faire avec quelques astuces). De même, la série des 1/n³ converge  où la lettre zeta désigne la fonction Zeta de Riemann pour les curieux (là par contre pour la demo je vous laisse vous débrouiller xD). Bien maintenant tentons de visualiser physiquement ces résultats (c'est là que ça devient intéressant).

La série des 1/n diverge ce qui veut dire que si j'essaie de tracer une ligne composée de segments de longueurs successives 1 puis 1/2 puis 1/3 ... la ligne sera infinie et je n'aurai donc pas assez d'encre pour la tracer. Cependant la série des 1/n² étant convergente, si je trace le long de la ligne précédemment commencée des carrés de côtés successifs 1 ,1/2,1/3, leur aire totale sera finie et j'aurai donc assez d'encre pour colorier leur surface ! Mieux encore, si maintenant je cherche à remplir des cubes de côtés successifs 1,1/2,1/3, il me faudra encore moins d'encre pour le faire qu'il ne m'en fallait pour colorier les carrés (1,202 < pi²/6) tout ceci alors qu'on ne peut même pas tracer la droite sur laquelle tous les cubes sont alignés... Marrant non ? J'attends vos réactions ; )

 

Modifié (le) Janvier 14, 2016 par Anthraks

[Barzuln]

  n'est pas non-plus un truc tout à fait inconnu. On peut montrer, par encadrement par des intégrales (judicieusement choisies) que ta série est équivalente en l'infini à ln(n). De plus elle porte un nom, c'est la série harmonique.

 

Et non j'insiste en dimension infinie noyau réduit au nul et bijection ne sont pas équivalents, ce n'est vrai qu'en dimension finie. Quand je dit dimension quelconque, j'entend finie ou infinie. L'injection est toujours vraie quelque soit la dimension par-contre.

[Anthraks]

à l’instant, Barzuln a dit :

  n'est pas non-plus un truc tout à fait inconnu. On peut montrer, par encadrement par des intégrales (judicieusement choisies) que ta série est équivalente en l'infini à ln(n). De plus elle porte un nom, c'est la série harmonique.

Je n'ai pas dit que la série harmonique était inconnue, juste que la faire égaler à quelque chose n'avait aucun sens (oui j'ai été formaté par mon prof de maths).

[Barzuln]

à l’instant, Anthraks a dit :

Je n'ai pas dit que la série harmonique était inconnue, juste que la faire égaler à quelque chose n'avait aucun sens (oui j'ai été formaté par mon prof de maths).

On est tous plus ou moins formatés par nos profs, personne n'est capable de réinventé toutes les mathématiques depuis le début et d'avoir une approche complètement personnelle.

En fait je disais surtout ça pour indiquer que même si cette série diverge, on peut quand même en faire qqch d'un point de vue calculatoire, ça c'est mon coté prépa où je tente toujours de ramener les choses à un exo et en trouver la solution.

[OverwhelminG]

De l'algèbre on passe à l'analyse ! Ah que de bon souvenirs avec la convergence/divergence des séries, ou encre des intégrales impropre et les séries entières ! la convergence voilà un terme bien vaste, on la croise (la convergence) un peu partout notamment en physique et qui laisse toujours des propriétés assez intéressantes ^^

[Barzuln]

Le lien entre algèbre et analyse est particulièrement tenu, et la branche de la topologie prend ses racines dans les deux. Alors, pour ce qui concerne la topologie, je ne suis pas aller très loin, je me suis "contenté" de l'introduction aux espaces vectoriels normés, et ce n'était pas une mince affaire, les problèmes de convergences de série en dimension quelconque sur l'adhérence de la boule ouverte de centre truc et de rayon machin, bref ça devenait épineux. J'ai beaucoup plus apprécié la partie consacrée au cas particulier des séries entières et des problèmes de rayon de convergence, et leur application au calcul des équations différentielles particulièrement adaptées quand les coefficients sont des polynômes.

Cette année j'entame un autre chapitre de la topologie, l'étude des fonctions analytiques, nous ne sommes pas aller bcp plus loin que la démo du théorème de Cauchy-Riemann (omg vous ne trouvez pas que Cauchy ne fait jamais rien par lui-même, Cauchy-Schwarz, Cauchy-Lipschitz, Cauchy-Riemann... ) et ça a l'air sympathique.

Modifié (le) Janvier 15, 2016 par Barzuln

[OverwhelminG]

J'ai fait un peu de topologie l'année passée, elle est vaste et je me rappelle avoir lu un titre d'un chapitre sur un pdf qui m'a fait un peu rire quand même xD c'était "zoologie de la topologie" je me demandais bien ce que le terme "zoologie" voudrait dire en math ^^ Sinon j'avais fait, en effet, des études sur les boules fermées ou ouvertes et encore sur les espaces compacts et toute les bases, cependant j'avais fait ça dans un module qui s'appelle " Optimisation non linéaire" c'était intéressant :)

Cauchy, en effet la majorité de ses théorèmes sont partagés avec d'autre mathématicien :D

[Blofeld]

Il y a sept enfants dans une famille. On sait que au moins Cinq des enfants sont des garçons. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins une fille dans la fratrie?

[Barzuln]

Raisonnons en termes de probabilités.

L'événement " Au moins une fille " que l'on va appeler A peut être décomposé en 2 événements indépendants : - Exactement une fille : B1

                                                                                                                                                                                 - Exactement deux filles : B2

On suppose la probabilité d'une naissance d'une fille égale à celle d'un garçon.

Considérons l'événement B1, B1 est égal à l'événement Exactement une fille et Exactement un garçon parmi les 2 sexes encore indéterminés. B1 est un élément de l'univers Oméga qui contient les 4 événements élémentaires suivants : - Exactement une fille et Exactement un garçon : B1

                                                                                                                                        - Exactement 2 filles  : B2

                                                                                                                                        - Exactement 2 garçons : B3

D'après le présupposé sur les probabilités du sexe à la naissance, on est clairement dans le cas des probabilités uniformes.

Donc P(B1) = nombres de cas favorables / nombres de cas = 1/3

et de la même manière P(B2) = 1/3

Les événements sont indépendants et A = B1 ou B2, on peut donc appliquer bêtement la formule des probabilités totales.

P(A) = P(B1) + P(B2) = 2/3

La probabilité qu'il y est au moins une fille est donc de 2/3.

Ou alors je fais mon kéké et je me trompe complètement.

 

Modifié (le) Janvier 16, 2016 par Barzuln

[Hasio]

il y a 27 minutes, Barzuln a dit :

.

Donc P(B1) = nombres de cas favorables / nombres de cas = 1/3

et de la même manière P(B2) = 1/3

Les événements sont indépendants et A = B1 ou B2, on peut donc appliquer bêtement la formule des probabilités totales.

P(A) = P(B1) + P(B2) = 2/3

La probabilité qu'il y est au moins une fille est donc de 2/3.

Ou alors je fais mon kéké et je me trompe complètement.

 

P(B1) = 2/4

P(B2) = 1/4

P(A) = 3/4

Mais ça ne prend pas en compte le fait qu'il y ait 7 enfants dont 5 garçons.

[Blofeld]

Le 25/10/2015 at 10:03 AM, Blofeld a dit :

 La majorité des personnes se trompent: Si on disait que l'aîné était un garçon on aurait bien P(F)=1/2 hors on dit qu'un des enfants est un garçon. Si tu regardes les possibilités de combinaisons c'est:

‌‌‌GG; GF; FG donc P(F)=2/3 C'est assez étrange au fond et même expliqué certaines personnes ne comprennent pas.

C'est pas ça Barzuln ^^ Je rappelle le même problème il y a quelques temps me que j'avais posé, mais avec un garçon minimum dans une fratrie de deux enfants. Bon le résultat est 2/3 comme toi mais c'est du hasard ^^

[Barzuln]

OMG je me suis complètement fail sur le contenu de Oméga...

[Anthraks]

il y a une heure, Blofeld a dit :

Bon le résultat est 2/3 comme toi mais c'est du hasard ^^

Tu veux dire que le résultat pour ton nouveau problème est aussi 2/3 ? Moi je trouve 7/29 ><

[Blofeld]

Non non Anthraks ^^ c'est pas 2/3 Comment tu es arrivé à 7/29? ^^ Le dénominateur est bon! Le numérateur par contre...

[Anthraks]

Pour le dénominateur j'ai cherché le nombres de fratries présentant au moins 5 garçons ce qui revient à prendre 5 garçons ou 6 ou 7 parmi les 7 enfants. Donc si je note (y,x) le coefficient binomial x parmi y j'ai le dénominateur = (7,5)+(7,6)+(7,7)=21+7+1=29 

Ensuite parmi ces fratries, on cherche celles présentant au moins une fille du coup j'ai pensé que ça revenait à prendre 1 fille parmi les 7 enfants puis de prendre six autres enfants (fille ou garçons) pour compléter la fratrie donc numérateur=(7,1)x(6,6)=7 mais c'est là que se trouve mon erreur. J'aurais plutôt du chercher le nombre de fratries présentant au moins une fille (comme j'avais fait pour le dénominateur finalement ><) sachant qu'on peut en avoir 2 au max vu qu'il y a au moins 5 garçons ? Mais alors j'aurai numérateur = (7,1)+(7,2)=7+21=28 donc une probabilité de 28/29 ?! Ca me paraît énorme...

Edit : Je suis débile ? Parmi les 29 fratries que j'ai dénombrées il y en a une seule qui ne présente aucune fille (celle avec 7 garçons t'as vu Sherlock !) donc on a bien 28 fratries qui présentent au moins une fille... On se casse toujours la tête pour rien en proba ><

Modifié (le) Janvier 16, 2016 par Anthraks

[Blofeld]

Oui c'est tout con ^^ Il faut juste déterminer le nombre de séries possibles, puis retirer 1.

[Blofeld]

En fait, il y a une méthode sûre mais fastidieuse pour connaître la réponse. Ca consiste à écrire chaque série possible en sachant qu'il y a forcément 5 garçons dans la famille sur 7 enfants.

Dans le cas où il n'y a que des garçons, 1 seule série possible:

GGGGGGG

Dans le cas où il y a Une seule fille, 7 séries possibles:

GGGGGGF ; GGGGGFG ; GGGGFGG ; GGGFGGG ; GGFGGGG ; GFGGGGG ; FGGGGGG

Dans le cas où il y a deux filles, il y a 21 séries possibles:

GGGGGFF ; GGGGFGF ; GGGFGGF ; GGFGGGF ; GFGGGGF ; FGGGGGF ;

GGGGFFG ; GGGFGFG ; GGFGGFG ; GFGGGFG ; FGGGGGF ;

GGGFFGG ; GGFGFGG ; GFGGFGG ; FGGGFGG ;

GGFFGGG ; GFGFGGG ; FGGFGGG ;

GFFGGGG ; FGFGGGG ;

FFGGGGG

On a donc au total, 1+7+21=29 configurations possibles d'enfants dans la famille, dans l'ordre des naissances, en sachant qu'au moins 5/7 enfants sont des garçons.

28 des séries comprennent une fille donc la probabilité qu'il y ait au moins une fille dans la fratrie est de 28/29, soit à peu près 96.6% de chances.

C'était l'explication simple ^^ Quand on arrive sur des gros nombres on peut plus faire ça!

[Anthraks]

il y a 1 minute, Blofeld a dit :

C'était l'explication simple ^^ Quand on arrive sur des gros nombres on peut plus faire ça!

D'où l'utilité des coefficients binomiaux pour généraliser facilement (mais encore faut il bien les utiliser ... pas comme moi ><)